બુધવાર, 14 ડિસેમ્બર, 2016

આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તતા



Necessity and sufficiency નો અનુવાદ
નિગ્રહોના સિધ્ધાંતવિષે વ્યાવહારિક જગતમાં, અને ખાસ તો વ્યાપાર-ઉદ્યોગનાં સંચાલનમાં, ઉપયોગોની વાત કરતાં પહેલાં તેના પાયામાં રહેલ એક મહત્ત્વનાં સાધન - વિચારણા પ્રક્રિયાઓ [Thinking processes] -  વિષે ચર્ચા કરીને તેની સમજ મેળવવી જરૂરી છે.પરંતુ વિચારણા પ્રક્રિયાનો આધાર કારણ અને અસર [Cause and Effect]ના તર્ક [Logic] પર રહેલો છે. કારણ અને અસર તર્કનાં અસરકારક આકલનમાટે જરૂરી છે 'આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તા [Necessity and sufficiency]'ના સુચિતાર્થ સંબંધોને સમજવું.
તર્કશાસ્ત્રમાં, આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તતાનો એકબીજાસાથે સૂચિતાર્થ કથનોનો સંબંધ છે. કોઇ એક કથન બીજાં કથન માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત છે તેમ દાવાથી કહેવું એટલે એનો અર્થ એ કે પહેલું  ક્થન તો જ સાચું છે જો બીજું કથન સાચું હોય. બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો બન્ને કથન એક સાથે ક્યાં તો સાચાં હોવાં જોઈએ, નહીં તો એક સાથે ખોટાં હોવાં જોઈએ. સાદી ભાષામાં કહીએ તો 'આવશ્યક' અને 'પર્યાપ્ત' એ બે શરતો કે પરિસ્થિતિઓ વચ્ચેનો સંબંધ દર્શાવે છે નહીં કે બે કથનો વચ્ચેનો સંબંધ. કોઈ વ્યક્તિનો પોતાની સાથે ભાઈનો સંબંધ છે એ કથન સાચું થવા માટે હોવા માટે એ વ્યક્તિનું નર ભાંડરૂ હોવું એ આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત છે.
વ્યાખ્યાઓ
'જો S તો N ' એ શરતી કથનમાં ' S ' શબ્દપ્રયોગને પૂર્વગામી કહેવાય છે, જ્યારે ' N ' શબ્દપ્રયોગને અનુવર્તી કહેવાય છે. આ શરતી કથનને જૂદી જૂદી સમાન રીતે લખી શકાય છે, જેમ કે " N જો S " કે " S N સૂચવે છે" કે " S N "કે પછી "જ્યારે જ્યારે S ત્યારે ત્યારે N ".
આ પરિસ્થિતિઓમાં આપણે કહીએ છીએ કે NS માટે આવશ્યક શરત છે. સાદી ભાષામાં એમ કહી શકાય કે જો આ શરતી કથન સાચું હોય તો S ના સાચા હોવાની કંઈ પણ શકયતા હોય તો જ અનુવર્તી N સાચું હોઈ શકે. (જૂઓ નીચે રજૂ કરેલ 'સત્ય કોષ્ટક'). બીજા શબ્દોમાં કહીએ તો અનુવર્તી N સાચું ન હોય તો પૂર્વગામી S સાચું ન હોઈ શકે. ઉદાહરણ તરીકે સોક્રેટીસ તરીકે કોઇ ઓળખાતું હોય તો તે માટે ખરેખર આવશ્યક છે કે તેનું એ પ્રમાણે નામકરણ થયું હોય.
આપણે એમ પણ કહીએ છીએ કે SN માટે પર્યાપ્ત શરત છે. ફરીથી 'સત્ય કોષ્ટક' જૂઓ. જો શરતી કથન સાચું છે તો S સાચું હોય તો N સાચું જ હોય. સાદી ભાષામાં " S Nની ખાતરી ભરે છે. ઉપર લીધેલ ઉદાહરણ જ આગળ ચલાવીએ તો, કોઈ સોક્રેટીસ તરીકે ઓળખાતું હોય તો એટલું જાણવું પર્યાપ્ત છે કે ખરેખર તેનું નામકરણ તો થયું છે.
સત્ય કોષ્ટક
S
N
S N
S N
S N
ખરૂં
ખરૂં
ખરૂં
ખરૂં
ખરૂં
ખરૂં
ખોટું
ખોટું
ખરૂં
ખોટું
ખોટું
ખરૂં
ખરૂં
ખોટું
ખોટું
ખોટું
ખોટું
ખરૂં
ખરૂં
ખરૂં
આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત હોવા માટે જરૂરી છે કે   S N અને NS (જે SN એમ પણ લખી શકાય) ખરાં બની રહે. પહેલા પ્રયોગથી કહી શકાય SN માટે પર્યાપ્ત શરત છે અને બીજા પ્રયોગથી કહી શકાય કે SN માટે આવશ્યક શરત છે. આ વાત "SN માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે" કે S તો અને માત્ર તો જ જો N" કે S⇔ N એ મુજબ  દર્શાવી શકાય.
આવશ્યકતા
સીધા સૂર્યપ્રકાશ માટે સૂર્ય ક્ષિતિજની ઉપર દેખાતો રહે એ આવશ્યક શરત છે; પણ પર્યાપ્ત શરત નથી કેમકે એ પ્રકાશને રોકવા માટે કંઈપણ કારણ નડી શકે છે, જેમકે 'ગ્રહણ
P માટે Q જરૂરી છે એ દાવાને સાદી ભાષામાં એમ કહી શકાય કે "જ્યાં સુધી Q સાચું ન હોય ત્યાં સુધી P સાચું ન હોઈ શકે'  કે 'જો Q ખોટું છે તો P પણ ખોટું છે'. તેના વિધેય વ્યુત્ક્રમ તરીકે 'જ્યારે જ્યારે P સાચું છે ત્યારે Q પણ સાચું છે' કહી શકાય. બન્ને વચ્ચેના તાર્કિક સંબંધને 'જો P તો Q ' કે ' P Q '(PQ સૂચવે છે)ની રીતે વર્ણવી શકાય. આને 'Q તો જ P ' કે " Q, જો P ' કે 'Q જ્યારે જ્યારે P ' કે ' Q જ્યારે P '  જેવી વિવિધ રીતે પણ દર્શાવી શકાય. ઘણી વાર, ગણિતિક ગદ્યમાં એમ જોવા મળે છે કે ઘણી આવશ્યક શરતોને એક સાથે લેવાથી એક પર્યાપ્ત શરત બને છે, જેમકે, નીચે દર્શાવેલ ઉદાહરણ # ૫.
ઉદાહરણ ૧: 'જયેશ કુંવારો છે' એ સાચું હોવા માટે એ આવશ્યક છે કે જયેશ
૧. અપરિણિત
૨. પુરુષ
૩.વયસ્ક
       હોય એ પણ સાચું હોય, કેમકે 'જયેશ કુંવારો છે' એ જયેશ આ ત્રણેય વધારાનાં વિધેય વિશેષણ ધરાવે છે.
ઉદાહરણ ૨: ૨(બે)થી મોટી પૂર્ણ સંખ્યા માટે અવિભાજ્ય હોવા માટે એકી સંખ્યા હોવું પણ આવશ્યક છે, કેમકે માત્ર ૨ (બે)જ એવી અવિભાજ્ય સંખ્યા છે જે બેકી સંખ્યા પણ છે અને અવિભાજ્ય પણ છે.
ઉદાહરણ ૩: વીજળીને કારણે થતી ગર્જનાનો વિચાર કરીએ.આપણે કહેતાં હોઈએ છીએ કે વીજળી માટે ગર્જના આવશ્યક છે, કેમ કે ગર્જના વગર વીજળી થતી જોવા નથી મળતી.જ્યારે જ્યારે વીજળી થાય છે, ત્યારે ત્યારે ગર્જના થાય જ છે. ગર્જના વીજળી નથી કરતી (હકીકતે તો વીજળીને કારણે ગર્જના થાય છે), પરતુ વીજળી થાય ત્યારે ગર્જના થાય જ છે એટલે આપણે એમ કહીએ છીએ કે વીજળી માટે ગર્જના આવશ્યક છે. (એટલે કે, ઔપચારિક અર્થમાં જરૂરીયાત કાર્યકારણ નથી સૂચવતી.)
ઉદાહરણ ૪: ભારતની લોક સભાના સદસ્ય તરીકે ચુંટાવા માટે ઓછામાં ઓછી ઉંમર ૨૫ વર્ષની હોવી જરૂરી છે. ૨૫ વર્ષથી ઓછી હોય તો લોક સભાના સદસ્ય થવું અશક્ય છે. એટલે કે જો તમે લોક સભાના સદસ્ય છો, તો તમારી ઉમર કમસે કમ ૨૫ વર્ષની તો છે.
ઉદાહરણ ૫: બીજગણિતમાં, કોઈ ગણ (set)S નો * ઑપરેશન સાથેનો સમૂહ બનાવવા માટે આવશ્યક છે કે તે સાહચર્યાત્મક હોય. એ પણ આવશ્યક છે કે S માં ખાસ ઘટક e એ રીતે સમાવાયું હોય કે Sમાંના દરેક x Nતે e* x અને x* e બન્ને x સરખાં હોય. એ પણ આવશ્યક છે કે S માંના દરેક x માટે તદ્દનુરુપ ઘટક x " એવું હોય કે બન્ને x* x" and x"* x ખાસ ઘટક e સરખાં હોય. આ ત્રણે આવશ્યક શરતો પોતામાં પર્યાપ્ત નથી પણ ત્રણનું સંયોજન પર્યાપ્ત છે.
પર્યાપ્તતા
સમયસર પહોંચવા માટે ટ્રેન નિયત સમયાનુસાર હોય એ પર્યાપ્ત શરત હોઈ શકે (જો ટ્રેનમાં તમે ચડ્યાં હો અને તે સમયસર ઉપડી હોયને પછી સમયસર પહોંચે); પણ તે હંમેશાં આવશ્યક શરત નથી, કેમકે મુસાફરી કરવાના તો બીજા વિકલ્પો પણ છે. ટ્રેન સમયસર ન હોય તો પણ બીજી કોઈ રીતે મુસાફરી કરીને પણ સમયસર પહોંચી તો શકાય.
Q માટે P પર્યાપ્ત છે તેમ કહેવામાં અને તેનાથી જ P સાચું છે તે જાણવું એ Q સાચું છે એ તારણ પર આવવા માટે પૂરતો અધાર છે. (જોકે, P સાચું નથી તે અને તેનાથી Q  સાચું નથી એ તારણ પર આવવા માટે પૂરતો આધાર નથી બનતો.) આ તાર્કિક સંબંધ 'જો P તો Q " કે " PQ," રૂપે દર્શાવી શકાય. અનેક પર્યાપ્ત શરતોને એક સાથે લેવાથી એક આવશ્યક શરત બની શકે, જે ઉદાહરણ # ૫માં દર્શાવેલ છે.
ઉદાહરણ ૧: 'જયેશ કુંવારો છે' એમ કહેવાથી જયેશ પુરુષ છે તે સૂચિત થાય છે.એટલે જયેશ કુંવારો છે એ જાણવું તે તેના પુરુષ હોવાનું જાણવા માટે પર્યાપ્ત છે.
ઉદાહરણ ૨: ૪ (ચાર) વડે ભાજ્ય સંખ્યા બેકી હોય તે પર્યાપ્ત છે (પણ આવશ્યક નથી); પરતુ ૨ (બે)થી ભાજ્ય હોવા માટે પર્યાપ્ત અને આવશ્યક છે.
ઉદાહરણ ૩: ગર્જના થવી એ વીજળી થવા માટે પર્યાપ્ત શરત છે કેમકે ગર્જના સાંભળવી અને બેશક એમ જ સમજવું કે વીજળી થઈ છે તે તારણને સમર્થન કરે છે. 
ઉદાહરણ ૪: સંસદેપસાર કરેલા ખરડાને કાયદામાં પરિવર્તિત થવા માટે પ્રમુખની મંજુરીની સહી થાય તે પર્યાપ્ત છે. જો કે પ્રમુખ પોતાનો વિશેષાધિકાર વાપરીને વાપરીને ખરડા પર સહી ન કરીને એ ખરડો સંસદની ફેરવિચારણા માટે પરત કરી શકે તેવું સંવૈધાનિક પ્રાવધાન છે.
ઉદાહરણ ૫: પત્તાની રમતનાં ટેબલનાં કેન્દ્રમાં કાળી ()નું એક મોટું ચિત્ર દેખાતું હોય તો પત્તું એક્કો હોવા માટે પર્યાપ્ત શરત છે. તેવી જ ત્રણ અન્ય પર્યાપ્ત શરતો છે કે ટેબલનાં કેન્દ્રમાં અનુક્રમે ચોકડી () કે લાલ () એ ફુલ્લી()નું એક મોટું ચિત્ર હોય.આમાંની કોઈ પણ શરત પત્તું એક્કો જ હોય તે માટે આવશ્યક શરત નથી, પણ તેનો વિચ્છેદ આવશ્યક શરત છે કેમકે કોઈ એક શરત (હકીકતે, અચૂકપણે) પૂરી કર્યા સિવાય કોઈ પત્તું એક્કો ન હોઈ શકે.
આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તતા વચ્ચેનો સંબંધ
એવાં બે તાર્કિક કથનો S અને N વિષે વિચારો જેમાં, S N માટે પર્યાપ્ત હોય ( જોS સાચું હોય તો N સાચું જ હોય). અર્થાલંકારિક કહીએ તો, જો આપણે S માં હોઈએ તો આપણે Nમાં પણ છીએ. એનો અર્થ એમ પણ થાય કે N સાચું ન હોય તો S પણ સાચું ન હોઈ શકે.

કોઇ શરત ક્યાં તો આવશ્યક હોય અથવા તો પર્યાપ્ત હોય, પરંતુ એક હોય તો બીજી ન પણ હોય. જેમકે, માનવ (S)હોવા માટે સસ્તન (N)હોવું આવશ્યક છે, પણ પર્યાપ્ત નથી.

x(S) સંમેય સંખ્યા છે એટલું પર્યાપ્ત છે, પરંતુ x (N) એ વાસ્તવિક સંખ્યા (Real Numbers) હોય એવું આવશ્યક નથી(કેમકે એવી પણ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે સંમેય નથી).

કોઈ શરત આવશ્યક અને પર્યાપ્ત એમ બન્ને સ્થિતિ દર્શાવતી પણ હોઈ શકે. જેમ કે, 'આજે ૨૬ મી જાન્યુઆરી છે' એ 'આજે ભારતનો પ્રજાસતાક દિન છે' માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત છે.એ જ રીતે મૅટ્રિક્ષ M ને ઉલટપુલટ કરી શકાવા (invertibility) માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત એ છે કે M માટે અશૂન્ય નિર્ણાયક (nonzero determinant) હોય.

ગાણિતિક ભાષામાં આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તતા એક બીજાના જોડીયાં છે. કોઈ પણ કથનો S અને N માટે "N S માટે આવશ્યક છે"એવો દાવો "S Nમાટે પર્યાપ્ત છે"ના બરાબર છે. આ જોડીયાપણાની બીજી ખાસીયત એ છે કે ઉપર જણાવ્યા મુજબ આવશ્યક શરતોનાં સંયોજનો ("અને"ના ઉપયોગ વડે) કદાચ પર્યાપ્તતા મેળવી શકે, જ્યારે ("અથવા"ના ઉપયોગ વડે)પર્યાપ્તતાના વિચ્છેદ કદાચ આવશ્યકતા મેળવી શકે. આ ઉપરાંત ત્રીજી ખાસીયત માટે દરેક ગણ (set) T(N) સાથેના વસ્તુઓના કે ઘટનાઓના કે કથનોના ગાણિતિક વિધેય N ખોળી કાઢો જેના માટે Nનું સાચું હોવું જળવાઈ રહેતું હોય;અને પછી N ની S માટેની આવશ્યકતાનો દાવો કરવો એ T(N)એ T(S)નો વડોગણ (superset) છે એમ દાવો કરવા બરાબર છે, જ્યારે Sની N માટેની આવશ્યકતાનો દાવો કરવો એ T(S)એ T(N)નો પેટાગણ(subset) છે તેમ દાવો કરવા બરાબર છે.

આવશ્યકતા અને પર્યાપ્તતા એકી સાથે

જ્યારે આપણે એમ કહીએ છીએ કે P Q માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે ત્યારે મૂળતઃ આપણે કહીએ છીએ કે -

૧. P Q માટે આવશ્યક છે, P⇐Q, અને P Q માટે પર્યાપ્ત છે, P ⇒Q.
૨. સમકક્ષ રીતે, એમ પણ કહેવાનું સમજી શકાય કે P અને Q બન્ને એકબીજા માટે આવશ્યક છે, જે આમ પણ કહી શકાય : P ⇒Q/\ Q ⇒P
૩. બન્ને એકબીજા માટે પર્યાપ્ત છે, કે એકબીજાને સૂચવે છે.
આ કોઈ પણ - અને માટે કરીને આ બધા - કિસ્સાઓનો સારાંશ "P જો અને માત્ર જો Q", કથનથી કરી શકાય. આને P ⇔ Q વડે દર્શાવી શકાય. આ બધા કિસ્સાઓ જણાવે છે કે P⇔ Q એ P⇒ÞQ/\ Q⇒ P ને સમકક્ષ છે.

જેમ કે, ગ્રાફ થિયરીમાં ગ્રાફ G તો દ્વિપક્ષીય(bipartite) છે જો દરેક ટોચકાંને કાળો યા સફેદ રંગ લાગૂ કરી શકાય જેથી કરીને Gની દરેક કોરનાં અંતબિંદુ પ્રત્યેક રંગનાં હોય.કોઈ પણ ગ્રાફના દ્વિપક્ષીય હોવા માટે એ આવશય્ક અને પર્યાપ્ત શરત બની રહે છે કે તેમાં કોઈ એકી-લંબાઈવાળાં આવર્તન (Odd-length Cycle) ન હોય. આમ, ગ્રાફમાં એકી-લંબાઈના આવર્તન છે કે નહીં તે શોધી કાઢવાથી ગ્રાફ દ્વિપક્ષીય છે કે નહીં તે જાણી શકાય છે. તેનાથી ઉલટું, જો ગ્રાફ દ્વિપક્ષીય છે તો તેમાં એકી-લંબાઈનાં આવર્તન નથી એમ જાણી શકાય છે. કોઇ તત્ત્વચિંતક આ પરિસ્થિતિની આ ખાસીયતને આમ વર્ણવી શકે છે : "જોકે દ્વિપક્ષીયત્ત્વ અને એકી આવર્તનની ગેરહાજરી અર્થવ્યાપ્તિ (intension)ની બાબતે જૂદાં પડે છે, પણ તેમનું વિસ્તરણ(extension) સમાન છે.

ગણિતમાં, ઘણીવાર પ્રમેયોને "P જો અને માત્ર જો Q સાચું હોય તો જ સાચું છે' એ સ્વરૂપમાં રજૂ કરવામાં આવતા હોય છે. તેમની સાબિતીઓ પહેલાં સામાન્ય રીતે પર્યાપ્તતા સિધ્ધ કરે છે, જેમ કે, P ⇒Q. તે પછીથી તેનું વિરુધ્ધ સાબિત કરાતું હોય છે, Q⇒ P.
૧. ક્યાં તો, સીધું જ Q સાચું છે તેમ માની લઈને નિદર્શન કરવામાં આવે છે કે વર્તુળ Q Pની અંદર સ્થિત છે, કે પછી
૨. વિષમ રીતે, એટલે કે એમ નિદર્શિત કરીને કે વર્તુળ Pની બહાર નીકળવાથી આપણે Qની પણ બહાર નીકળી જઈએ છીએ: ન તો-P, ન તો-Q પરિણામો ધારી લઈને.
આમ સાબિત થાય છે કે Q અને Pનાં વર્તુળો ઉપર જણાવેલ વેન્ન આકૃતિ સાથે બંધ બેસે છે.

કારણકે, ઉપર સમજાવ્યા મુજબ એકની બીજા માટેની આવશ્યકતા એ બીજાંની પહેલાં માટેની પર્યાપ્તતાની સમકક્ષ છે. ઉદાહરણ તરીકે, P ÞQ એ QÞ P ને સમકક્ષ છે, જો P Q માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે , તો Q P માટે આવશ્યક અને પર્યાપ્ત છે. આપણે લખી અને કહી શકીએ કે P ÛQ º QÛ P કથનો "P સાચું છે જો અને માત્ર જો Q, સાચું છે" અને "Q સાચું છે જો અને માત્ર જો P સાચું છે" સમકક્ષ છે.
સામાન્ય ભાષામાં સમજ પડે તેવાં ઉદાહરણો
          "મનીષા ફળ ખાશે, જો તે સફરજન હશે." (સમકક્ષ: " માત્ર જો મનીષા ફળ ખાશે, તે સફરજન છે." કે "મનીષા ફળ ખાશે ફળ સફરજન છે.")
સીધી ભાષામાં કહીએ તો અહીં કહેવામાં આવ્યું છે કે મનીષા સફરજન ખાશે. પરંતુ, એ શકયતાને બાકાત નથી કરાઈ કે મનીશા કેળાં કે બીજાં ફળો પણ ખાશે. એટલું જરૂર નક્કી છે કે જેટલાં સફરજન હાથે ચડશે તેટલાં તે ખાશે. ફળનું સફરજન હોવું એ મનીષાની ફળ ખાવા માટેની પર્યાપ્ત શરત છે.
          "મનીષા ફળ તો જ ખાશે જો તે સફરજન હશે." (સમકક્ષ: "જો મનીષા ફળ ખાય તો તે સફરજન હશે." કે "મનીષા ફળ ખાશે ફળ સફરજન છે")
અહીં કહેવાયું છે કે મનીષા માત્ર સફરજન જ ખાશે. જોકે અહીં એ શક્યતા નથી બાકાત કરાઈ કે સફરજન ધરવામાં આવે તો મનીષા તે ન સ્વીકારે.આ વાત ઉપર કહેવાયેલ શરત - મનીષા જેટલાં સફરજન હાથે ચડશે તેટલાં તે ખાશે-થી ઊંધું કથન છે. આ કિસ્સામાં, જે ફળની વાત કરાઈ છે તે સફરજન છે તે મનીષાની ફળ ખાવા માટેની આવશ્યક શરત છે. એ પર્યાપ્ત શરત નથી કે જેટલાં સફરજન હાથે ચડશે તેટલાં બધાં કદાચ મનીશા ખાશે.
          "મનીષા તો જ ફળ ખાશે જો અને જો માત્ર તે સફરજન હશે."(સમકક્ષ "મનીષા ફળ ખાશે  ફળ સફરજન છે")
અહીં સ્પષ્ટ છે કે મનીષા બધાં અને સફરજન હશે એ જ ફળ ખાશે.તે કોઈ પણ સફરજન છોડશે નહીં,અને સફરજન સિવાય કોઈ અન્ય ફળ તે નહીં ખાય. ફળ સફરજન હોય એ મનીષાની ફળ ખાવા મટેની આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરત છે.
ગણિતની આ પરિભાષા સંચાલન વ્યાવસાયિક માટે સમજવી થોડી મુશ્કેલ જરૂર પડશે, પરંતુ નિગ્રહોના સિધ્ધાંતના અસરકારક અમલ માટે તેમણે નિગ્રહોને ખોળી કાઢવા અને નિગ્રહોના ઉકેલ કરવા જતાં બીજા નિગ્રહો ન નિપજી બેસે તેની તકેદારી રાNવા માટે કરીને આ વિષયને સારી રીતે સમજવો ઈચ્છનિય છે.
કેટલાક અન્ય માહિતી સંદર્ભ:
આવશ્યક અને પર્યાપ્ત શરતો ને લાગૂ પડતાં દલીલોનાં સ્વરૂપ
દલીલનાં માન્ય સ્વરૂપ
દલીલનાં અમાન્ય સ્વરૂપ (તર્કદોષ - Fallacy)
પ્રસ્તુત વિષય પર વધારાની માહિતી પૂરી પાડતા સ્ત્રોત:
તર્કદોષ (Fallacy) પર વધારાની માહિતી પૂરી પાડતા સ્ત્રોત
          The Fallacy Files – Gary N Curtis
          Logically Fallacious - Bo Bennett

અતાર્કિક માન્યતાને ઉઘાડી પાડો તો કોઇ વ્યક્તિને એક દિવસ પૂરતું તર્કસંગત રાખી શકાય. જો અતાર્કિક વિચારસરણીને ઉઘાડી પાડો તો કોઈ પણ વ્યક્તિને જિંદગીભર તર્કસંગત રાખી શકાય.- Bo Bennett