અશોક વૈશ્નવની પસંદના અંગ્રેજી બીન-સાહિત્ય લેખોના ભાવાનુવાદ: જ્ઞાન સાથે રસ પણ પડે એવા તાર્કિક વિરોધાભાસો

ગણિતશાસ્ત્રી, ફિલસૂફ અને પ્રામાણિકપણે વાંધા ઉઠાવનાર બર્ટ્રાન્ડ રસેલે વીસમી સદીની શરૂઆતમાં ગાણિતિક તર્કમાં બર્ટ્રાન્ડના વિરોધાભાસ (કે બર્ટ્રાન્ડની વિસંગતિ[1]) [2] તરીકે ઓળખાતા વાળંદના વિરોધાભાસને રજૂ કર્યો..

તેનો ઉપયોગ બર્ટ્રાન્ડ રસેલ દ્વારા વિરોધાભાસના દ્રષ્ટાંત તરીકે કરવામાં આવ્યો હતો, જો કે તે તેનું શ્રેય એક આ વિરોધાભાસ જેણે સૂચયો હતો એવી એક અનામી વ્યક્તિને આપે છે. [3]

આપણી સમક્ષ એક વિરોધાભાસ છે. વાળંદ વ્યક્તિ છે જે પોતાના વાળ જાતે નથી કાપતો. પણ જો તે પોતાના વાળ જાતે કાપતો ન હોય તો એક વાળંદ તરીકે પોતાના વાળ પણ કાપવા પડે. પણ જેવો તે જાતે પોતાના વાળ કાપે છે તે સાથે જે તે જેઓ પોતાના વાળ જાતે કાપતા નથી એ વર્ગનો સભ્ય રહેતો નથી. પરંતુ, પરિણામે પરિસ્થિતિ એવી નિર્માણ થાય છે કે બંને કિસ્સાઓમાં, તે પોતાની જાતે જ વાળ તો કાપે છે..

શા માટે આપણે એવું માની લેવું જોઈએ કે એવો કોઈ વાળંદ કેમ ન હો કે જે પોતાના વાળ ન કાપનારના જ વળ કાપવાને બદલે બધાના વાળ કાપે. છે. બધાના વાળ કાપતો હોય તો પણ પોતાને બાકાત રાખવામાં અતાર્કિક કશું નથી. પણ જો તે બધાના વાળ કાપતો હોય તો પણ, અને જે પોતાના વાળ ન કાપતા હોય એવા લોકોના વાળ જ કાપતો હોય તો પણ, તે શી રીતે પોતાને બાકાત રાખી શકે, એ જ આ વિરોધાભાસનો મુખ્ય પ્રશ્ન છે. વિરોધાભાસની ખુબી એ છે કે તે પોતાને બાકાત ન રાખે તો પણ આખી વાતમાં વિરોધાભાસ દૂર થતો જણાતો નથી: એવી ધારણા રાખવાની વાત કરવી કે એવો વાળંદ હોઈ શકે છે જે ફક્ત પોતાના વાળ જાતે નથી કાપતો એ સમસ્યાની સામે આંખમિચામણા કરવા બરાબર લાગે છે.

વિરોધાભાસનાં કથનની રચના મુજબ તો વાત સરળ લાગે છે. એમ લાગે કે થોડો વધારે વિચાર કરીએ તો કદાચ બીજી કોઈ રીતે એ કથનને ગોઠવી પણ શકાય. બહુ બહુ તો એટલું કહી શકાય કે ' સારૂં ચાલો વાળદ જે રીતે શરત કહે છે તેને બદલે એણે તો એટલું જ નક્કી કરવાનું છે કે અલગ શરત મુજબ કોના વાળ તે કાપી શકે.' પરંતુ હકીકતમાં, "સરળ" સેટ થિયરી ("naïve" set theory)ના સંદર્ભમાં બીજી રીતે કહેવામાં આવેલ બાર્બરના વિરોધાભાસે એક મોટી સમસ્યાને ઉઘાડી કરી મુકી અને વીસમી સદીના ગણિતની સમગ્ર દિશા જ બદલી નાખી.

સરળ સેટ થિયરીમાં, સેટ એ એવી માત્ર વસ્તુઓનો સંગ્રહ છે જે અમુક શરતને સંતોષે છે. કોઈપણ સ્પષ્ટ કહેવાયેલ સ્થિતિ સેટને વ્યાખ્યાયિત કરતી માનવામાં આવે છે - જો તે તે વસ્તુઓ અમુક શરતોને સંતોષે છે. ઔપચારિક તર્કશાસ્ત્રનો ઉપયોગ કરીને વ્યાખ્યાયિત કરાયેલ 'સ્વયંસિધ્ધ (Axiomatic) સેટના સિદ્ધાંતોયી વિપરિત, 'સરળ' સેટ થિયરીમાં સહજ ભાષાનો પ્રયોગ કરવામાં આવે છે. [4]

લગભગ એક સદી પહેલા, ગોટલોબ ફ્રીજ જેવા લોકો, પ્રથમ વખત, "ગણિતના પાયા" ને વ્યાખ્યાયિત કરવાનો પ્રયાસ કરી રહ્યા હતા: જે એવા નિયમોનો ઔપચારિક સેટ છે જેના વડે ગણિતશાસ્ત્ર્ત્રીઓ ખાત્રીપૂર્વક કહી શકે કે તેઓએ જે પર્તિપાદિત કર્યું છે તે બધું જ સાચું છે તેની ખાતરી કરી શકાય. નવાઈની વાત એ છે કે આવા નિયમો રજુ કરવા મુશ્કેલ છે, અને બાર્બરના વિરોધાભાસે આ પ્રક્રિયાના ઇતિહાસમાં એક મહત્વપૂર્ણ ભૂમિકા ભજવી હતો: તેનો ઉપયોગ બર્ટ્રાન્ડ રસેલ દ્વારા ફ્રેગેના કાર્યમાં સમસ્યા દર્શાવવા માટે કરવામાં આવ્યો હતો.

બહુ જ સાદી રીતે કહીએ તો, ફ્રીજની વ્યાખ્યા સાથેનો એક મુદ્દો એ હતો કે તેના વડે કોઈ પણ ગુણધર્મ સાથેના સેટને બનાવવો શક્ય હ્તો, જેમ કે "ત્રણ વડે વિભાજ્ય તમામ પૂર્ણાંકોનો સમૂહ", "તમામ સમૂહોનો સમૂહ", અથવા " બધા ગુલાબી યુનિકોર્નનો સમૂહ" (જ્યાં "ગુલાબી" અને "યુનિકોર્ન" એવી વસ્તુ છે જે પહેલેથી જ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવી છે). રસેલે પછી એવા તમામ સેટના સેટને વ્યાખ્યાયિત કર્યું જે પોતાનો સમાવેશ નથી કરતા. (જેમકે જેઓ પોતાની જાતે વાળ નથી કાપતા એવા ગામના તમામ પુરુષોનો સેટ.. હવે અચાનક તે સ્પષ્ટ થઈ ગયું કે ફ્રીજની ઔપચારિકતા (formalism)માં વિરોધાભાસ છે: તે તમને અશક્ય વસ્તુ બનાવવાની પણ છૂત આપે છે.

રસેલના વિરોધાભાસનું મહત્વ એ છે કે તે સરળતાપૂર્વક અને ખાતરીપૂર્વક દર્શાવે છે કે કોઈ પણ એવું ન માની શકે કે બધા સેટની અર્થપૂર્ણ સમગ્રતા હોય અને તે સાથે એવા નિરંકુશ(unfettered ) સમજણ સિદ્ધાંતને માટે છૂટ આપે કે જેના વડે એવા સેટ બનાવી શકાય જે પાછા સમગ્રતા સાથે સંબંધિત પણ હોય. (રસેલ આ પરિસ્થિતિને "વિષ ચક્ર (vicious circle) " કહે છે).

વધારાનું વાંચન:

For the Fargo episode, see Who Shaves the Barber?

The Barber Paradox: A Razor-Sharp Introduction